3.如圖所示,一物體沿斜面在拉力F的作用下由A經(jīng)B,C運(yùn)動到D,其中AB=50m,BC=40m,CD=30m,變力F=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}x+5,0≤x≤90}\\{20,x>90}\end{array}\right.$(其中x為距離,單位:m,變力F的單位:N),在AB段運(yùn)動時F與運(yùn)動方向成30°角,在BC段運(yùn)動時F與運(yùn)動方向成45°,在CD段F與運(yùn)動方向相同,求物體由A運(yùn)動到D變力F所作的功W.

分析 先求出變力F在物體運(yùn)動方向的分力:在AB段時,分力為Fcos30°;在BC段時,分力為Fcos45°,這樣根據(jù)變力做功的公式即可得到A到D變力F做功W=${{∫}_{0}}^{50}(\frac{1}{4}x+5)cos30°$dx+${{∫}_{50}}^{90}(\frac{1}{4}x+5)cos45°dx+600$,所以進(jìn)行定積分的計算即可.

解答 解:在AB段運(yùn)動時F在運(yùn)動方向的分力F1=Fcos30°,在BC段運(yùn)動時F在運(yùn)動方向的分力F2=Fcos45°;
由變力做功公式得:
W=${{∫}_{0}}^{50}(\frac{1}{4}x+5)cos30°dx+$${{∫}_{50}}^{90}(\frac{1}{4}x+5)cos45°dx$+600=$\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{1}{8}{x}^{2}+5x){{|}_{0}}^{50}$$+\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{8}{x}^{2}+5x){{|}_{50}}^{90}+600$=$\frac{1125\sqrt{3}}{4}+450\sqrt{2}+600$.

點(diǎn)評 考查用定積分求變力做功的方法及計算公式,以及定積分的計算.

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