Question

已知函數(shù)f(x)＝ (k為常數(shù)，e＝2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與x軸平行．

(1)求k的值；

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)g(x)＝(x²＋x)f ′(x)，其中f ′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意x>0，g(x)<1＋e^－2.

Answer 1

 (1)解：由f(x)＝，

得f ′(x)＝，x∈(0，＋∞)，

由于曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線與x軸平行．

所以f ′(1)＝0，因此k＝1.

(2)解：由(1)得f ′(x)＝ (1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)，

令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)<0.

又e^x>0，所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f ′(x)>0；

當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f ′(x)<0.

因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)．

(3)證明：因?yàn)?i>g(x)＝(x²＋x)f ′(x)，

所以g(x)＝ (1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)．

因此，對(duì)任意x>0，g(x)<1＋e^－2等價(jià)于1－x－xlnx< (1＋e^－2)．

由(2)知h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，

所以h′(x)＝－lnx－2＝－(lnx－lne^－2)，x∈(0，＋∞)．

因此，當(dāng)x∈(0，e^－2)時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(e^－2，＋∞)時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減．

所以h(x)的最大值為h(e^－2)＝1＋e^－2.

故1－x－xlnx≤1＋e^－2.

設(shè)φ(x)＝e^x－(x＋1)，則φ′(x)＝e^x－1＝e^x－e⁰，

所以當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，φ′(x)>0，φ(x)單調(diào)遞增，φ(x)>φ(0)＝0，

故當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，φ(x)＝e^x－(x＋1)>0，

即>1.

所以1－x－xlnx≤1＋e^－2< (1＋e^－2)．

因此對(duì)任意x>0，g(x)<1＋e^－2.