Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-4|．
（1）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)m＞0，求f（x）在[0，m]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）化簡(jiǎn)f（x）=x|x-4|=

x2-4x，x≥4 -x2+4x，x＜4

；從而由二次函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；
（2）由（1）中函數(shù)的單調(diào)性討論m的取值范圍以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值．最后用分段函數(shù)表示．

解答： 解：（1）f（x）=x|x-4|=

x2-4x，x≥4 -x2+4x，x＜4

；
則由二次函數(shù)的單調(diào)性知，
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，2]和[4，+∞）；
單調(diào)遞減區(qū)間是[2，4]．
（2）①當(dāng)0＜m＜2時(shí)，f（x）在[0，m]上是增函數(shù)，
此時(shí)f（x）在[0，m]上的最大值是f（m）=m（4-m）；
②當(dāng)2≤m≤4時(shí)，f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，在[2，m]上是減函數(shù)，
所以此時(shí)f（x）在[0，m]上的最大值是f（2）=4；
③當(dāng)4＜m≤2+2

2

時(shí)，f（x）在[0，2]是增函數(shù)，在[2，4]上是減函數(shù)，在[4，m]上是增函數(shù)，
而f（m）≤f（2+2

2

）=f（2），
所以此時(shí)f（x）在[0，m]上的最大值是f（2）=4；
④當(dāng)m＞2+2

2

時(shí)，
f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，在[2，4]上是減函數(shù)，在[4，m]上是增函數(shù)，
而f（m）＞f（2+2

2

）=f（4），
所以此時(shí)f（x）在[0，m]上的最大值是f（m）=m（4-m）；
綜上所述，f_max（x）=

m(4-m)，0＜m＜2 4，2≤m≤2+2 2 m(4-m)，m＞2+2 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．