Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，E是側(cè)棱PD的中點(diǎn)．
（I）求證：PB∥平面ACE；
（Ⅱ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅲ）若PA=2，求三棱錐P-ABE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）判斷EO∥PB，EO?平面ACE；PB?平面ACE得出：PB∥平面ACE；
（Ⅱ）判斷PB⊥BC，且PB∩AB=B，PA⊥平面ABCD；
（Ⅲ）AB⊥面PAD，V_P-ABE=V_B-PAE=

1

3

S_△PAE•AB，運(yùn)用求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）證明：連接BD交AC與O，連接EO，
∵底面ABCD是正方形，
∴O為BD的中點(diǎn)，
∵又E為PD的中點(diǎn)，
∴在△PBD中，EO為其中位線，
∴EO∥PB，
∵EO?平面ACE；PB?∴
∴PB∥平面ACE；
（Ⅱ）證明：∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，
∴AB⊥BC，
∵PB⊥BC，且PB∩AB=B，
∴BC⊥面PAB，
∵PA?平面PAB，∴PA⊥BC，
同理可證PA⊥CD，
∵BC∩CD=C，BC?面ABCD，CD?面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知PA⊥AB，
又AB⊥AD，
∴AB⊥面PAD，
∵PA=2，在Rt△PAD中，E為PD的中點(diǎn)，
∴S_△PAE=

1

2

S△PAD═

1

2

×(

1

2

×2×2)=1，
∴V_P-ABE=V_B-PAE=

1

3

S_△PAE•AB=

1

3

×1×2=

2

3

，

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間幾何體的性質(zhì)，證明直線平面的垂直，求解體積問(wèn)題，屬于中檔題．