Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若對任意，恒成立，求的取值范圍；

（2）若函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

（1）參變分離，由對任意恒成立，得對任意恒成立. 令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，即可求出的取值范圍.

（2）若函數(shù)的兩個零點(diǎn)為，，不妨設(shè)設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，要證，即證.只需證明.由，只需證明.令，，求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得：．

（1）解：由對任意恒成立，得對任意恒成立.

令，則.

令，則.

∴在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.

∴，

則，即的取值范圍為.

（2）證明：設(shè)，，則.

在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.

∵，，當(dāng)時，，且，

∴，，

要證，即證.

∵，，在上單調(diào)遞減，

∴只需證明.

由，只需證明.

令，.

∵，∴，，

∴，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，

即，∴.