Question

（2012•安徽模擬）已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h(x)=x+

1

x

+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對(duì)稱(chēng)，則當(dāng)x∈[

1

3

，2]時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋ā　。?/div>

• A．[

  5

  2

  ，

  10

  3

  ]
• B．[2，

  5

  2

  ]
• C．[2，

  10

  3

  ]
• D．[2，+∞）

• 試題答案
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• 在線(xiàn)課程

分析：先設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上任意一點(diǎn)P（x，y），根據(jù)它關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為Q（-x，2-y），利用題意Q點(diǎn)在函數(shù)h(x)=x+

1

x

+2的圖象上，求出函數(shù)f（x）的解析式，最后利用其解析式求出f（x）的值域．

解答：解：設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上任意一點(diǎn)P（x，y），
它關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為Q（-x，2-y），
根據(jù)題意Q點(diǎn)在函數(shù)h(x)=x+

1

x

+2的圖象上，
則2-y=-x+

1

-x

+2，
∴y=x+

1

x

，即f（x）=x+

1

x

，x∈[

1

3

，2]．
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值2，當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取得最大值

10

3

，
∴當(dāng)x∈[

1

3

，2]時(shí)，f（x）的值域[2，

10

3

]．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用、函數(shù)的值域等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．

Answer 1

分析：先設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上任意一點(diǎn)P（x，y），根據(jù)它關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為Q（-x，2-y），利用題意Q點(diǎn)在函數(shù)h(x)=x+

1

x

+2的圖象上，求出函數(shù)f（x）的解析式，最后利用其解析式求出f（x）的值域．

解答：解：設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上任意一點(diǎn)P（x，y），
它關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為Q（-x，2-y），
根據(jù)題意Q點(diǎn)在函數(shù)h(x)=x+

1

x

+2的圖象上，
則2-y=-x+

1

-x

+2，
∴y=x+

1

x

，即f（x）=x+

1

x

，x∈[

1

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，2]．
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值2，當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取得最大值

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3

，
∴當(dāng)x∈[

1

3

，2]時(shí)，f（x）的值域[2，

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]．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用、函數(shù)的值域等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．