【題目】已知函數(shù)fx=ax2+2x+c,若不等式fx<0的解集是{x|-4<x<2}.

1)求fx)的解析式;

2)判斷fx)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并用定義證明;

3)若函數(shù)fx)在區(qū)間[m,m+2]上的最小值為-5,求實數(shù)m的值.

【答案】12)單調(diào)遞增,證明見解析(315

【解析】

利用二次函數(shù)小于零的解集,可以判斷-4,2f(x)=0的解,利用韋達定理,可求得ac的值;根據(jù)單調(diào)性定義法(1.取值,2作差,3定號,4下結(jié)論),證明函數(shù)的單調(diào)性;利用函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)最小值,從而求得m

因為不等式fx<0的解集是{x|-4<x<2}.所以-4,2方程ax2+2x+c=0的兩個是根,利用韋達定理:,解的:a=1,c=-8;故:

任取

fx1-fx2=x12+2x1-8-x22+2x2-8=x21- x22+ 2x1-x2

=x1+x2)(x1-x2+ 2x1-x2=x1-x2)(x1+x2+2

因為:

所以:x1-x2<0,x1+x2+2>0,故:fx1-fx2<0,因此:fx1<fx2

所以: fx)在(0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)

3)由(1)知:,對稱軸x=-1,

因為函數(shù)fx)在區(qū)間[m,m+2]上的最小值為-5,故對稱軸落在區(qū)間[mm+2]中,

由于f(x)在區(qū)間

當(dāng)m>-1時,fx)在區(qū)間[m,m+2]上為遞增,則最小值

解得:m=-3(),m=1

當(dāng)m<-3時,fx)在區(qū)間[mm+2]上為遞減,

則最小值,

解得:m=-5m=-1()

故:答案為:m=1m=-5

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A.B.C.D.

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