Question

設集合A是實數(shù)集R的子集，如果點x₀∈R滿足：對任意a＞0，都存在x∈A使得0＜|x-x₀|＜a，則稱x₀為集合A的聚點．用Z表示整數(shù)集，則在下列集合中，
（1）{x|x=

n

n+1

，n∈Z，n≥0}
（2）不含0的實數(shù)集R
（3）{x|x=

1

n

，n∈Z，n≠0}
（4）整數(shù)集Z
以0為聚點的集合有（　�。�

• A、（1）（3）
• B、（1）（4）
• C、（2）（3）
• D、（1）（2）（4）

Answer 1

考點：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：新定義

分析：根據(jù)聚點的定義分別進行判斷即可．

解答： 解：（1）{x|x=

n

n+1

，n∈Z，n≥0}的元素是極限為1的數(shù)列，除了第一項0之外，其余的都至少比0大

1

2

，
∴在a＜

1

2

的時候，不存在滿足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合的聚點
（2）集合{x|x∈R，x≠0}，對任意的a，都存在x=

a

2

，使得0＜|x|=＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚點．
（3）集合中的元素是極限為0的數(shù)列，
對于任意的a＞0，存在n＞

1

a

，使0＜|x|=

1

n

＜a
∴0是集合的聚點
（4）對于某個a＜1，比如a=0.5，此時對任意的x∈Z，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是說不可能0＜|x-0|＜0.5，從而0不是整數(shù)集Z的聚點
故選C．

點評：本題考查的知識點是集合元素的性質(zhì)，其中正確理解集合的聚點的含義，是解答本題的關(guān)鍵．