Question

2．已知$\frac{π}{2}$＜β＜α＜$\frac{3}{4}$π，sin（α-β）=$\frac{12}{13}$，cos（α+β）=-$\frac{3}{5}$，則sin2α=-$\frac{56}{65}$．

Answer 1

分析 由α與β的范圍確定出α+β與α-β的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出cos（α-β）與sin（α+β）的值，原式中的角度變形后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答 解：∵$\frac{π}{2}$＜β＜α＜$\frac{3}{4}$π，sin（α-β）=$\frac{12}{13}$，cos（α+β）=-$\frac{3}{5}$，
∴0＜α-β＜$\frac{π}{2}$，π＜α+β＜$\frac{3}{2}$π，
∴cos（α-β）=$\frac{5}{13}$，sin（α+β）=-$\frac{4}{5}$，
則sin2α=sin[（α-β）+（α+β）]=sin（α-β）cos（α+β）+cos（α-β）sin（α+β）=$\frac{12}{13}$×（-$\frac{3}{5}$）+$\frac{5}{13}$×（-$\frac{4}{5}$）=-$\frac{56}{65}$，
故答案為：-$\frac{56}{65}$

點評 此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關系，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵．