Question

10．在一次抗洪搶險(xiǎn)中，準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從橋上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油灌，已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊相互獨(dú)立，且命中概率都是$\frac{2}{3}$，求：
（1）油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為ξ，求ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由題意便知需命中2次引爆油罐，且第二次命中時(shí)停止射擊，這樣可設(shè)A_i=“射擊i+1次引爆油罐”，i=1，2，3，4，根據(jù)符合二項(xiàng)分布的變量的概率的求法及獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的求法即可求出油罐被引爆的概率；
（2）根據(jù)題意知變量ξ的取值為2，3，4，5，并且取5時(shí)包含這樣幾種情況：5次都未打中，5次只有1次打中，打中2次且第5次打中，這三個(gè)事件相互獨(dú)立，求出每個(gè)事件的概率再求和即可，列表表示ξ的分布列，根據(jù)期望的計(jì)算公示求ξ的數(shù)學(xué)期望即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意知只要命中2次就能引爆油罐，并且第2次命中時(shí)便停止射擊；
設(shè)A_i=“射擊i+1次引爆油罐”，i∈N^*，且i＜6；
∴P（“油罐被引爆”）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）+P（A₄）=$\frac{2}{3}•\frac{2}{3}+{{C}_{2}}^{1}（\frac{2}{3}）•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}$$+{{C}_{3}}^{1}（\frac{2}{3}）•（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{2}{3}$$+{{C}_{4}}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{3}•\frac{2}{3}$=$\frac{232}{243}$；
（2）ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5
P	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{1}{9}$

∴E（ξ）=$\frac{4}{9}×2+\frac{8}{27}×3+\frac{4}{27}×4+\frac{1}{9}×5$=$\frac{79}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 考查獨(dú)立事件的概念，獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，符合二項(xiàng)分布的變量的概率，以及離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，數(shù)學(xué)期望的概念及求法．