Question

【題目】已知圓，直線過點．

（1）求圓的圓心坐標和半徑；

（2）若直線與圓相切，求直線的方程；

（3）若直線與圓相交于P，Q兩點，求三角形CPQ的面積的最大值，并求此時

直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）， 2；（2）或；（3） 2，，或．

【解析】試題分析：

(1)由圓的標準方程可得圓心的圓心坐標為，半徑為2

(2)分類討論直線的斜率是否存在可得直線的方程是或；

(3)由題意得到△ABC的面積函數(shù)，由均值不等式的結(jié)論可得面積的最大值為2，此時直線的方程是，或．

試題解析：

（1）圓心的圓心坐標為，半徑為2；

（2）①若直線的斜率不存在，則直線：，符合題意；

②若直線斜率存在，設直線的方程為，即，

由題意知，圓心到已知直線的距離等于半徑2，

即，解得，

所求直線的方程是或；

（3）方法1：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設直線方程為，

則圓心到直的距離，

又∵三角形CPQ面積

，

當且僅當，即時取等號，三角形CPQ的面積的最大值為2，

由，有，或，

此時直線方程為，或．

方法2：

，

當時，取最大值2，

此時點到的距離為，

設：，

由，解得或，

故所求直線的方程為或.