Question

13．已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+1）+ax，（x∈R）是偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)．
（1）試確定實(shí)數(shù)a的值；
（2）先判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；
（3）關(guān)于x的不等式f（x）≥b-ln$\frac{1}{2}$在R上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）是R上的偶函數(shù)，f（-x）=f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，列出方程求出a的值；
（2）f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是減函數(shù)，利用定義證明即可；
（3）由不等式f（x）≥b-ln$\frac{1}{2}$在R上恒成立，求出f（x）在R上的最小值，即可得出b的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ln（e^x+1）+ax是R上的偶函數(shù)，
即f（-x）=ln（e^-x+1）-ax=f（x），
∴l(xiāng)n（e^x+1）+ax-（ln（e^-x+1）-ax）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
∴l(xiāng)n$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{-x}+1}$+2ax=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立；
又$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{-x}+1}$=e^x，上式變成ln（e^x）+2ax=（2a+1）x=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
∴a=-$\frac{1}{2}$；
（2）∵f（x）=ln（e^x+1）-$\frac{1}{2}$x是偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是減函數(shù)；
用定義證明如下：任取x₁、x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂；
則-x₁＞-x₂≥0，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
又∵f（x）是R上的偶函數(shù)，
∴f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂）；
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是減函數(shù)；
（3）∵關(guān)于x的不等式f（x）≥b-ln$\frac{1}{2}$在R上恒成立，
∴l(xiāng)n（e^x+1）-$\frac{1}{2}$x≥b-ln$\frac{1}{2}$，
∴b≤ln（e^x+1）-$\frac{1}{2}$x+ln$\frac{1}{2}$，
又∵f（x）=ln（e^x+1）-$\frac{1}{2}$x是R上的偶函數(shù)，
且在（-∞，0]上是減函數(shù)，在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴x=0時(shí)f（x）取得最小值ln（e⁰+1）-$\frac{1}{2}$×0=ln2，
∴b≤ln2+ln$\frac{1}{2}$=ln（2×$\frac{1}{2}$）=0，
即實(shí)數(shù)b的取值范圍是b≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用問題，也考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求最值的應(yīng)用問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，是綜合性題目．