Question

18．高三年級某6個班聯(lián)合到集市購買了6根竹竿，作為班旗的旗桿之用，它們的長度分別為3.8，4.3，3.6，4.5，4.0，4.1（單位：米）．
（1）若從中隨機(jī)抽取兩根竹竿，求長度之差不超過0.5米的概率；
（2）若長度不小于4米的竹竿價格為每根10元，長度小于4米的竹竿價格為每根a元．從這6根竹竿中隨機(jī)抽取兩根，若這兩根竹竿總價的期望為18元，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由題意知，本題是一個古典概型，6根竹竿的長度從小到大依次為3.6，3.8，4.0，4.1，4.3，4.5，滿足條件的事件是其中長度之差不超過0.5米的兩根竹竿，先做出它的對立事件的概率，用1減去得到結(jié)果．
（2）由題意知任取兩根竹竿的價格之和為ξ，則ξ的可能取值為2a，a+10，20．結(jié)合變量對應(yīng)的事件寫出分布列和期望，根據(jù)期望這兩根竹竿的價格之和為18元，列出關(guān)于a的方程，解方程即可．

解答 解：（1）由題意知，本題是一個古典概型，
∵6根竹竿的長度從小到大依次為3.6，3.8，4.0，4.1，4.3，4.5，
其中長度之差超過0.5米的兩根竹竿長可能是3.6和4.3，3.6和4.5，3.8和4.5．
設(shè)“抽取兩根竹竿的長度之差不超過0.5米”為事件A，
則P（$\overline{A}$）=$\frac{3}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{15}$=$\frac{1}{5}$，
∴P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$\frac{1}{5}$=$\frac{4}{5}$．
∴所求的概率為$\frac{4}{5}$．
（2）設(shè)任取兩根竹竿的價格之和為ξ，則ξ的可能取值為2a，a+10，20．
其中P（ξ=2a）=$\frac{1}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
P（ξ=a+10）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（ξ=20）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{15}$．
∴Eξ=2a×$\frac{1}{15}$+（a+10）×$\frac{8}{15}$+20×$\frac{6}{15}$=$\frac{2a+40}{3}$=18，
∴a=7

點評 本題考查古典概型，考查對立事件的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查的不是求期望，而是利用期望的值求式子中出現(xiàn)的一個變量，利用解方程的思想．