Question

在銳角三角形△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，向量

m

=（cosA，cosC），

n

=（a，2b-c），且

m

∥

n

．
（1）求角A的大�。�
（2）若

s

=（c，a），

n

•

s

=3（a²+b²-c²），求cosB．

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由兩向量的坐標，以及兩向量平行，利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出關系式，再利用正弦定理化簡，整理求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）由兩向量的坐標，根據(jù)題意列出關系式，整理得到關系式，再利用余弦定理表示出cosC，將得出的關系式代入求出cosC的值，進而求出sinC的值，將cosB變形為-cos（A+C），利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（cosA，cosC），

n

=（a，2b-c），且

m

∥

n

，
∴

cosA

a

=

cosC

2b-c

，即（2b-c）cosA=acosC，
利用正弦定理化簡得：（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=

1

2

，
則A=

π

3

；
（2）∵

s

=（c，a），

n

=（a，2b-c），

n

•

s

=3（a²+b²-c²），
∴ac+2ab-ac=3（a²+b²-c²），即a²+b²-c²=

2

3

ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

3

，即sinC=

1-cos2C

=

2 2

3

，
則cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC=-

1

2

×

1

3

+

3

2

×

2 2

3

=

2 6 -1

6

．

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．