Question

△ABC中，AB=6，AC=4，當(dāng)∠A變化時(shí)，求∠A的平分線與BC的垂直平分線的交點(diǎn)P的軌跡．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：取A為極點(diǎn)，AB所在直線為極軸建立極坐標(biāo)系，分別在三角形PAC和PAB中，由余弦定理得到PC²，PB²的值，由PB=PC得到P點(diǎn)的極坐標(biāo)方程，化為直角坐標(biāo)方程得答案．

解答： 解：取A為極點(diǎn)，AB所在直線為極軸建立極坐標(biāo)系，

∵AP平分∠BAC，MP為BC的中垂線，
∴PB=PC，設(shè)P（ρ，θ）（ρ＞0，-

π

2

＜θ＜

π

2

且θ≠0），
則PC²=AP²+AC²-2AP•AC•cosθ=ρ²+16-8ρcosθ，
PB²=AP²+AB²-2AP•AB•cosθ=ρ²+36-12ρcosθ，
∴ρ²+16-8ρcosθ=ρ²+36-12ρcosθ．
即ρcosθ=5 （ρ＞0，-

π

2

＜θ＜

π

2

且θ≠0），
化為普通方程為x=5（y≠0）．
∴點(diǎn)P的軌跡是與AB垂直，且與A的距離為5的一條直線，除去垂足．

點(diǎn)評：本題考查了軌跡方程，訓(xùn)練了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查了余弦定理的應(yīng)用，是中檔題．