Question

已知橢圓：的右焦點，過原點和軸不重合的直線與橢圓 相交于，兩點，且，最小值為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若圓:的切線與橢圓相交于，兩點，當，兩點橫坐標不相等時，問：與是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ） 。
（Ⅱ）， 

試題分析：（Ⅰ）設(shè)AB()F(c,0)則
        1分

所以有橢圓E的方程為         5分
（Ⅱ）由題設(shè)條件可知直線的斜率存在，設(shè)直線L的方程為y=kx+m
L與圓相切，∴∴       7分
L的方程為y=kx+m代入中得：
 令，
①  ②　
③        10分

∴               12分
點評：難題，求橢圓的標準方程，主要運用了橢圓的幾何性質(zhì)，注意明確焦點軸和a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（2）注意到直線斜率存在，通過聯(lián)立方程組，應(yīng)用韋達定理，計算向量的數(shù)量積為0，證得垂直關(guān)系。