Question

將一塊長(zhǎng)為10的正方形紙片ABCD剪去四個(gè)全等的等腰三角形△SEE′，△SFF′，△SGG′，△SHH′，再將剩下的陰影部分折成一個(gè)四棱錐形狀的工藝品包裝盒S-EFGH，其中A，B，C，D重合于點(diǎn)O，E與E′重合，F(xiàn)與F′重合，G與G′重合，H與H′重合（如圖所示）

（1）求證：平面SEG⊥平面SFH
（2）試求原平面圖形中AE的長(zhǎng)，使得二面角E-SH-F的余弦值恰為

2

3

（3）指出二面角E-SH-F的余弦值的取值范圍（不必說明理由）

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）拼接成底面EFGH的四個(gè)直角三角形必為全等的等腰直角三角形，從而EG⊥FH，EG⊥FH，EG⊥SO，由此能證明平面SEG⊥平面SFH．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)F，OG，OS所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，求出平面SEH的一個(gè)法向量和平面SFH的一個(gè)法向量，由此能求出當(dāng)原圖形中AE=

5

2

時(shí)，二面角E-SH-F的余弦值恰為

2

3

．
（3）觀察二面角E-SH-F的平面角的取值范圍，能寫二面角E-SH-F的余弦值的取值范圍．

解答： 解：（1）證明：∵折后A，B，C，D重合于一點(diǎn)O，
∴拼接成底面EFGH的四個(gè)直角三角形必為全等的等腰直角三角形，
∴底面EFGH是正方形，故EG⊥FH，
∵在原平面EFGH是正方形，故EG⊥FH，
∵在原平面圖形中，等腰三角形△SEE′≌△SGG′，
∴SE=SG，∴EG⊥SO，
又∵SO、FH?平面SFH，SO∩FH=O，
∴EC⊥平面SFH，
又∵EG?平面SEC，∴平面SEG⊥平面SFH．
（2）由（1）知EG⊥FH，EG⊥SC，同理，得HF⊥SO，
故以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)F，OG，OS所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
設(shè)原平面圖中，AE=t，
∴H（-1，0，0），E（0，-1，0），G（0，1，0），

HE

=（t，-t，0），

OG

=（0，t，0），
在原平面圖形中，SE=

50-10t+t2

，
在Rt△SOE中，SE=

50-10t+t2

，
在Rt△SOE中，SO=

SE2-OE2

=

50-10t

，
∴S（0，0，

10(5-t)

），

SH

=（-t，0，-

10(5-t)

），
設(shè)平面SEH的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • SH =-tx- 10(5-t) z=0 n • HE =tx-ty=0

，取x=

10(5-t)

，得

n

=（

10(5-t)

，

10(5-t)

，-t），
∵EG⊥平面SFH，∴

OG

=（0，t，0）是平面SFH的一個(gè)法向量，
設(shè)二面角E-SH-F的大小為θ，
則cosθ=

n • OG

| n |•| OG |

=

10(5-t)

10-t

，
∵二面角E-SH-F的余弦值為

2

3

，
∴

10(5-t)

10-t

=

2

3

，解得t=

5

2

，或t=-5（舍），
∴當(dāng)原圖形中AE=

5

2

時(shí)，二面角E-SH-F的余弦值恰為

2

3

．
（3）二面角E-SH-F的余弦值的取值范圍為（0，

2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系、空間向量的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力及運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．