Question

5．在平面直角坐標(biāo)系中，①若直線y=x+b與圓x²+y²=4相切，即圓x²+y²=4上恰有一個點到直線y=x+b的距離為0，則b的值為$±2\sqrt{2}$；②若將①中的“圓x²+y²=4”改為“曲線x=$\sqrt{4-{y}^{2}}$”，將“恰有一個點”改為“恰有三個點”，將“距離為0”改為“距離為1”，即若曲線x=$\sqrt{4-{y}^{2}}$上恰有三個點到直線y=x+b的距離為1，則b的取值范圍是（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-2]．．

Answer 1

分析 ①利用直線和圓相切的關(guān)系進行求解．
②曲線x=$\sqrt{4-{y^2}}$表示圓x²+y²=4的右半部分，由距離公式可得臨界直線，數(shù)形結(jié)合可得．

解答 解：①若直線y=x+b與圓x²+y²=4相切，則圓心到直線的距離d=$\frac{|b|}{\sqrt{2}}=2$，
即|b|=2$\sqrt{2}$，即b=$±2\sqrt{2}$，
由x=$\sqrt{4-{y}^{2}}$得x²+y²=4（x≥0），
則對應(yīng)的曲線為圓的右半部分，
直線y=x+b的斜率為1，（如圖），設(shè)滿足條件的兩條臨界直線分別為m和l，
根據(jù)題意，曲線上恰好有三個點到直線y=x+b的距離為1，因此其中兩個交點必須在直線m″（過點（0，-2））和直線l″之間，
設(shè)（0，-2）到直線m的距離為1，可得$\frac{|0+2+b|}{\sqrt{2}}$=1，
解得b=$\sqrt{2}$-2，或b=2+$\sqrt{2}$（舍去），
∴直線m的截距為$\sqrt{2}$-2，
設(shè)直線l″為圓的切線，則直線l″的方程為x-y-2$\sqrt{2}$=0，
由l到l″的距離為1可得$\frac{|b-（-2\sqrt{2}）|}{\sqrt{2}}$=1，
解方程可得b=$-\sqrt{2}$，即直線l的截距為-$\sqrt{2}$，
根據(jù)題意可知，直線在m和l之間，
∴b的取值范圍為：（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-2]
故答案為：$±2\sqrt{2}$，（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-2]．

點評 本題主要考查直線和圓的綜合應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及點到直線的距離公式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．