Question

設(shè)函數(shù)， ．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）如果存在，使得成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)；

（Ⅲ）如果對任意的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

 解：（Ⅰ），，  

①，函數(shù)在上單調(diào)遞增     

②，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為    ．

（Ⅱ）存在，使得成立

等價于：，

考察， ，     

		遞減	極（最）小值	遞增

 

．

由上表可知：，

，             

所以滿足條件的最大整數(shù)；                     

（Ⅲ）問題等價于當(dāng)，，

即當(dāng)時，恒成立，

等價于恒成立，                           

記，所以

，   。

記，當(dāng)，

即函數(shù)在區(qū)間上遞增，

當(dāng)，，即函數(shù)在區(qū)間上遞減，

取到極大值也是最大值            所以。                                    

_{另解：設(shè)，，}

∵，，∴在上遞減，

且，∴當(dāng)時，，時，，

即函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，

所以，所以。