Question

袋中有大小相同的四個(gè)球，編號(hào)分別為1、2、3、4，從袋中每次任取一個(gè)球，記下其編號(hào)．若所取球的編號(hào)為偶數(shù)，則把該球編號(hào)改為3后放同袋中繼續(xù)取球；若所取球的編號(hào)為奇數(shù)，則停止取球．
（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；
（2）若第一次取到偶數(shù)，記第二次和第一次取球的編號(hào)之和為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）記“第二次取球后才停止取球”為事件A，利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式能求出“第二次取球后才停止取球”的概率．
（2）由已知條件推導(dǎo)出X的可能取值為3，5，6，7，分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

解答： 解：（1）記“第二次取球后才停止取球”為事件A．
∴第一次取到偶數(shù)球的概率為

2

4

=

1

2

，第二次取球時(shí)袋中有三個(gè)奇數(shù)，
∴第二次取到奇數(shù)球的概率為

3

4

，而這兩次取球相互獨(dú)立，
∴P（A）=

1

2

×

3

4

=

3

8

．（6分）
（2）若第一次取到2時(shí)，第二次取球時(shí)袋中有編號(hào)為1，3，3，4的四個(gè)球；
若第一次取到4時(shí)，第二次取球時(shí)袋中有編號(hào)為1，2，3，3的四個(gè)球．
∴X的可能取值為3，5，6，7，
∴P（X=3）=

1

2

×

1

4

=

1

8

，P（X=5）=

1

2

×

2

4

+

1

2

×

1

4

=

3

8

，
P（X=6）=

1

2

×

1

4

+

1

2

×

1

4

=

1

4

，P（X=7）=

1

2

×

2

4

=

1

4

，
∴X的分布列為：

X	3	5	6	7
P	1 8	3 8	1 4	1 4

數(shù)學(xué)期望EX=3×

1

8

+5×

3

8

+6×

1

4

+7×

1

4

=

11

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合思想的合理運(yùn)用．