Question

已知實數(shù)x，y滿足

x2

a

+

y2

b

=1（a＞0）．
（Ⅰ）若直線x+y+c=0與曲線E：

x2

a

+

y2

b

=1（a＞0）相交于A，B兩點，O是坐標原點，且

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），若直線OP的斜率為

1

2

，求曲線E的離心率；
（Ⅱ）當b=-4時，求y²+2x的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）利用向量的中點公式可知：點P是線段AB的中點，再利用“點差法”和斜率計算公式即可得出a=2b，利用離心率計算公式即可得出；
（II）由題意的方程可得P=y²+2x=4(

x2

a

-1)+2x=

4

a

x2+2x-4=

4

a

(x+

a

4

)2-4-

a

4

(x≤-

a

或x≥

a

)，通過對-

a

與-

a

4

的大小關(guān)系討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ） 由

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，可知P為AB的中點，
設(shè)P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
代入曲線方程：bx12+ay12=ab，bx22+ay22=ab，
⇒b(x12-x22)=-a(y12-y22)
⇒

y1-y2

x1-x2

=

b(x1+x2)

-a(y1+y2)

=

bx0

-ay0

=-1，
∵OP的斜率為

1

2

，從而

y0

x0

=

1

2

⇒

b

a

=

1

2

⇒a=2b，
∵a＞0，∴b＞0，
故曲線E為焦點在x軸上的橢圓，e=

1- b a

=

2

2

．
（Ⅱ） 記P=y²+2x=4(

x2

a

-1)+2x=

4

a

x2+2x-4=

4

a

(x+

a

4

)2-4-

a

4

(x≤-

a

或x≥

a

)，
（1）若-

a

＜-

a

4

⇒0＜a＜16，此時Pmin=-2

a

．
（2）若-

a

≥-

a

4

⇒a≥16，此時Pmin=-4-

a

4

．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性、分類討論思想等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．