Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₇=49，a₄和a₈的等差中項(xiàng)為11．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）證明：當(dāng)n≥2時，有

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

7

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組求出a₁=1，d=2，由此能求出
a_n及S_n．
（Ⅱ）由S_n=n²知當(dāng)n=2時，不等式成立；當(dāng)n≥3時，

1

n2

＜

1

n-1

-

1

n

，由此利用裂項(xiàng)法能證明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

7

4

．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵S₇=49，a₄和a₈的等差中項(xiàng)為11，
∴

7a1+21d=49 2a1+10d=22

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1，S_n=n²．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知S_n=n²，n∈N^*，
①n=2時，

1

S1

+

1

S2

=1+

1

4

＜

7

4

，∴原不等式也成立．
②當(dāng)n≥3時，∵n²＞（n-1）n，
∴

1

n2

＜

1

n-1

-

1

n

，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

4

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1+

1

4

+[（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-2

-

1

n-1

）+（

1

n-1

-

1

n

）]
=1+

1

4

+（

1

2

-

1

n

）
=

7

4

-

1

n

＜

7

4

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．