Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且S_n+

1

2

a_n=1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₃（1-S_n+1）（n∈N^*），求

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

b100b101

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：常規(guī)題型,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由Sn+

1

2

an=1，知Sn=-

1

2

an+1．當(dāng)n=1時(shí)，S1=-

1

2

a1+1，則a₁=

2

3

，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=-

1

2

a_n-1+1，故a_n=

1

3

a_n-1，由此能夠求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．
（2）求出1-Sn=

1

2

an=(

1

3

)n，代入b_n=log₃（1-s_n）中得b_n=-n-1，利用

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，化簡，問題得以解決．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁，由S₁+

1

2

an=1，得a1=

2

3

，
當(dāng)n≥2時(shí)，
∵Sn=1-

1

2

an，Sn-1=1-

1

2

an-1，
∴Sn-Sn-1=-

1

2

(an-an-1)，
∴an=

1

3

an-1，
∴{a_n}是以

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
故an=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•(

1

3

)n．
（2）∵1-Sn=

1

2

an=(

1

3

)n，
∴bn=log3(1-Sn+1)=log3(

1

3

)n+1=-n-1
∵

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

b100b101

=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

100

-

1

101

)
=

1

2

-

1

101

=

25

51

．

點(diǎn)評：考查學(xué)生靈活運(yùn)用做差法求數(shù)列通項(xiàng)公式的能力，以及會求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式．