Question

正△ABC的邊長(zhǎng)為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B。

(1)試判斷直線(xiàn)AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)求二面角E—DF—C的余弦值；

(3)在線(xiàn)段BC上是否存在一點(diǎn)P，使AP⊥DE？證明你的結(jié)論.

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點(diǎn)，得EF//AB，

又AB平面DEF，EF平面DEF.   ∴AB∥平面DEF.

 

 

 

（2）∵AD⊥CD，BD⊥CD 

∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角

∴AD⊥BD   ∴AD⊥平面BCD

取CD的中點(diǎn)M，這時(shí)EM∥AD   ∴EM⊥平面BCD

過(guò)M作MN⊥DF于點(diǎn)N，連結(jié)EN，則EN⊥DF

∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角

在Rt△EMN中，EM=1，MN=

∴tan∠MNE=，cos∠MNE= 

（3）在線(xiàn)段BC上存在點(diǎn)P，使AP⊥DE

證明如下：在線(xiàn)段BC上取點(diǎn)P。使，過(guò)P作PQ⊥CD與點(diǎn)Q，

∴PQ⊥平面ACD  ∵在等邊△ADE中，∠DAQ=30°

∴AQ⊥DE∴AP⊥DE

【解析】略