Question

2．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，求證：{a_n}是等差數(shù)列，并求a_n．

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n的解析式，利用a_n=S_n-S_n-1求出a_n與a_n-1的關(guān)系，根據(jù)定義即可證明{a_n}是等差數(shù)列，求出首項(xiàng)與公差，即可得出通項(xiàng)公式．

解答 證明：正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，
∴4S_n=${{a}_{n}}^{2}$+2a_n+1，
∴4S_n-1=${{a}_{n-1}}^{2}$+2a_n-1+1，n≥2；
∴4（S_n-S_n-1）=${{a}_{n}}^{2}$+2a_n-${{a}_{n-1}}^{2}$-2a_n-1，n≥2，
即4a_n=${{a}_{n}}^{2}$+2a_n-${{a}_{n-1}}^{2}$-2a_n-1，n≥2；
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2；
又a₁=S₁，
∴4a₁=${{a}_{1}}^{2}$+2a₁+1，
解得a₁=1；
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=1，公差d=2的等差數(shù)列，
它的通項(xiàng)公式為a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．