Question

9．設(shè)點p（x，y）是曲線a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0）上的動點，且滿足$\sqrt{x^2+y^2+2y+1}$+$\sqrt{x^2+y^2-2y+1}$≤2$\sqrt{2}$，則a+$\sqrt{2}$b的取值范圍為（　�。�

• A． [2，+∞）
• B． [1，2]
• C． [1，+∞）
• D． （0，2]

Answer 1

分析 由a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0）．分類討論：當(dāng)x，y≥0時，化為ax+by=1；當(dāng)x≥0，y≤0時，化為ax-by=1；當(dāng)x≤0，y≥0時，化為-ax+by=1；當(dāng)x≤0，y≤0時，化為-ax-by=1．畫出圖象：其軌跡為四邊形ABCD．$\sqrt{x^2+y^2+2y+1}$+$\sqrt{x^2+y^2-2y+1}$≤2$\sqrt{2}$，變形為$\sqrt{{x}^{2}+（y+1）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$$≤2\sqrt{2}$，上式表示點M（0，1），N（0，-1）與圖象上的點P的距離之和≤2$\sqrt{2}$．可得$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}≤2\sqrt{2}}\\{\frac{2}≤2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：由a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0）．
分類討論：當(dāng)x，y≥0時，化為ax+by=1；當(dāng)x≥0，y≤0時，化為ax-by=1；
當(dāng)x≤0，y≥0時，化為-ax+by=1；當(dāng)x≤0，y≤0時，化為-ax-by=1．畫出圖象：其軌跡為四邊形ABCD．
$\sqrt{x^2+y^2+2y+1}$+$\sqrt{x^2+y^2-2y+1}$≤2$\sqrt{2}$，變形為$\sqrt{{x}^{2}+（y+1）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$$≤2\sqrt{2}$，
上式表示點M（0，1），N（0，-1）與圖象上的點P的距離之和≤2$\sqrt{2}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{1+\frac{1}{{a}^{2}}}≤2\sqrt{2}}\\{\frac{2}≤2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，化為$b≥\frac{\sqrt{2}}{2}$，a≥1．
∴a+$\sqrt{2}$b≥1+$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
同理b≥1時也成立．
其取值范圍為[2，+∞），
故選：A．

點評 本題考查了直線的方程、兩點之間的距離公式應(yīng)用、不等式的性質(zhì)，考查了分類討論思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．