Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+（$\frac{3}{4}$a²+$\frac{1}{2}$a）lnx-2ax．
（1）當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，求f（x）的極值點(diǎn)；
（2）若f（x）在f′（x）的單調(diào)區(qū)間上也是單調(diào)的，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{16}$lnx+x（x＞0），求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求得f（x）的極值點(diǎn)；
（2）求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=$x+\frac{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{1}{2}a}{x}-2a$=$\frac{1}{x}$（x²-2ax+$\frac{3}{4}$a²+$\frac{1}{2}$a）（x＞0），構(gòu)造新函數(shù)g（x）=x²-2ax+$\frac{3}{4}$a²+$\frac{1}{2}$a，△=4a²-3a²-2a=a²-2a，
設(shè)g（x）=0的兩根x₁，x₂（x₁＜x₂），分類討論，通過比較根的關(guān)系，根據(jù)f（x）在f′（x）的單調(diào)區(qū)間上也是單調(diào)的，即可確定實(shí)數(shù)a的范圍

解答 解：（1）當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{16}$lnx+x（x＞0），
由f′（x）=x-$\frac{1}{16x}$+1=$\frac{16{x}^{2}+16x-1}{16x}$=0，可得x₁=$\frac{-2-\sqrt{5}}{4}$，x₂=$\frac{-2+\sqrt{5}}{4}$，
當(dāng)（0，$\frac{-2+\sqrt{5}}{4}$）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)減，當(dāng)（$\frac{-2+\sqrt{5}}{4}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)增
∴f（x）在x=$\frac{-2+\sqrt{5}}{4}$時(shí)取極小值，
（2）f′（x）=$x+\frac{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{1}{2}a}{x}-2a$=$\frac{1}{x}$（x²-2ax+$\frac{3}{4}$a²+$\frac{1}{2}$a）（x＞0），
令g（x）=x²-2ax+$\frac{3}{4}$a²+$\frac{1}{2}$a，△=4a²-3a²-2a=a²-2a，
設(shè)g（x）=0的兩根x₁，x₂（x₁＜x₂），
1°、當(dāng)△≤0時(shí)，即0≤a≤2，f′（x）≥0，∴f（x）單調(diào)遞增，滿足題意；
2°、當(dāng)△＞0時(shí)  即a＜0或a＞2時(shí)，
①若x₁＜0＜x₂，則$\frac{3}{4}$a²+$\frac{1}{2}$a＜0  即-$\frac{2}{3}$＜a＜0時(shí)，f（x）在（0，x₂）上單調(diào)減，（x₂，+∞）上單調(diào)增
f′（x）=$x+\frac{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{1}{2}a}{x}-2a$，f″（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$•（$\frac{3}{4}$a²+$\frac{1}{2}$a）≥0，∴f′（x） 在（0，+∞）單調(diào)增，不合題意，
②若x₁＜x₂＜0，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{1}{2}a≥0}\\{a＜0}\end{array}\right.$，即a≤-$\frac{2}{3}$時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)增，滿足題意．
③若0＜x₁＜x₂，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{1}{2}a＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，即a＞2時(shí)，f（x）在（0，x₁）單調(diào)增，（x₁，x₂）單調(diào)減，（x₂，+∞）單調(diào)增，不合題意．
綜上可得實(shí)數(shù)a的范圍是{a|a≤-$\frac{2}{3}$或0≤a≤2}．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．