已知函數(shù)g(x)=(2－x)3－a(2－x)，函數(shù)f(x)的圖象與g(x)的圖象關(guān)于直線x－1＝0對稱.

    (1)求f(x)的表達(dá)式；

    (2)若f(x)在區(qū)間［1，＋∞］上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

    (3)記h(x)＝f(x)+g(x)，求證：當(dāng)x1，x2∈(0，2)時(shí)，|h(x1)－h(x2)|＜12|x1－x2|.

 

答案：
解析：

答案：解：(1)設(shè)P(x，y)為函數(shù)f(x)圖象上任一點(diǎn)，其關(guān)于x＝1的對稱點(diǎn)P′(x′，y′)應(yīng)在g(x)圖象上.

    ∴∴代入g(x)表達(dá)式得f(x)= x3－ax.      

    (2)∵f′(x)=3x2－a，且f(x)在［1，+∞)上是增函數(shù)，

    ∴3x2－a≥0在［1，+∞）上恒成立，∴a≤3x2∈［3，+∞）恒成立.

    ∴a≤3.

    (3)∵h(x)=f(x)+g(x)=(2－x)3－a(2－x)+x3－ax=6x2－12x+8－2a，

    |h(x1)－h(x2)|=|(6x12－12x1+8－2a)－(6x22－12x2+8－2a)|

    =|6(x12－x22)－12(x1－x2)|

    =6|x1－x2|·|x1+x2－2|.

    ∵x1，x2∈(0，2).

    ∴0＜x1+x2＜4，∴－2＜x1+x2－2＜2，

    即|x1+x2－2|＜2，∴6|x1－x2|·|x1+x2－2|＜12|x1－x2|，

    即|h(x1)－h(x2)|＜12|x1－x2|.

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)g(x)=-
a2
3
x3+
a
2
x2+cx(a≠0)，
（I）當(dāng)a=1時(shí)，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（II）當(dāng)a≥
1
2
時(shí)，（1）求證：對任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要條件是c≤
3
4
；
（2）若關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程g′（x）=0有兩個(gè)實(shí)根α，β，求證：|α|≤1，且|β|≤1的充要條件是-
1
4
≤c≤a2-a．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(coswx，sinwx)，
n
=(coswx，
3
coswx)，設(shè)函數(shù)f(x)=
m
•
n
+1且f（x）的最小正周期為2π．
（I）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和最值；
（II）已知函數(shù)g(x)=
tanx-tan3x
1+2tan2x+tan4x
，求證：f（x）＞g（x）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)g(x)=
x2-2
(x≥2)的導(dǎo)數(shù)為g′(x)=
x
x2-2
(x≥2)，記函數(shù)f（x）=x-kg（x）（x≥2，k為常數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上為減函數(shù)，求k的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)g(x)=1-2x ， f[g(x)]=
1-x2
x2
 (x≠0)，則f（0）等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)g(x)=
x+2，x＞-
1
2
-x-
1
2x
，-
2
2
＜x≤-
1
2
2
，x≤-
2
2
，若g(a)≥g(
1
a
)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
[-
2
，0)∪[1，+∞)
[-
2
，0)∪[1，+∞)
．

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