Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=

1

3

x³+x+1．
（1）若曲線y=g（x）的切線l過點(diǎn)A（0，

1

3

），求切線l的方程；
（2）討論函數(shù)h（x）=2f（x）+g（x）-

1

3

x³的單調(diào)性；
（3）若x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：g（x₁x₂）＞g（e²）．（e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）設(shè)切點(diǎn)為（m，

1

3

m³+m+1），切線方程為y-（

1

3

m³+m+1）=（m²+1）（x-m），代入點(diǎn)A得方程；（2）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性；（3）構(gòu)造函數(shù)μ（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，t∈（1，+∞），并判斷其單調(diào)性，由此得到g（x₁x₂）＞g（e²）．

解答： 解：（1）設(shè)切點(diǎn)為（m，

1

3

m³+m+1），又∵g′（x）=x²+1．
∴切線的斜率=m²+1，
即切線方程為y-（

1

3

m³+m+1）=（m²+1）（x-m），
∴

1

3

-（

1

3

m³+m+1）=（m²+1）（0-m），
解得，m=1，
則切線方程為2x-y+

1

3

=0．
（2）h（x）=2f（x）+g（x）-

1

3

x³=2lnx-2ax+x+1，x∈（0，+∞）
h′（x）=

(1-2a)x+2

x

，
①當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，h′（x）＞0，即h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，由h′（x）＞0解得0＜x＜

2

2a-1

；
∴h（x）在（0，

2

2a-1

）上是增函數(shù)，在（

2

2a-1

，+∞）上是減函數(shù)．
（3）證明：∵x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個(gè)相異零點(diǎn)，不妨設(shè)x₁＞x₂＞0，
∴l(xiāng)nx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0；
∴a=

lnx1-lnx2

x1-x2

．
故（x₁-x₂）（a-

2

x1+x2

）=ln

x1

x2

-

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

，
設(shè)

x1

x2

=t（t＞1），則μ（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，t∈（1，+∞），
μ′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴μ（t）在（1，+∞）是增函數(shù)，故μ（t）＞0，
又∵x₁-x₂＞0，∴a-

2

x1+x2

＞0，
∴l(xiāng)nx₁，+lnx₂=ax₂+ax₁＞0；
從而x₁•x₂＞e²．
又g（x）=

1

3

x³+x+1在R上是增函數(shù)，則g（x₁x₂）＞g（e²）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，化簡比較困難，屬于難題．