Question

如圖，平面α與平面β交于直線l，A，C是平面α內(nèi)不同的兩點(diǎn)，B，D是平面β內(nèi)不同的兩點(diǎn)，且A，B，C，D不在直線l上，M，N分別是線段AB，CD的中點(diǎn)，下列判斷錯誤的是

 

．
①若AB與CD相交，且直線AC平行于l時，則直線BD與l可能平行也有可能相交
②若AB，CD是異面直線時，則直線MN可能與l平行
③若存在異于AB，CD 的直線同時與直線AC，MN，BD都相交，則AB，CD不可能是異面直線
④M，N兩點(diǎn)可能重合，但此時直線AC與l不可能相交．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：①當(dāng)AB與CD相交，直線AC平行于l時，直線BD可以與l平行；②AB，CD是異面直線時，MN不可能與l平行；③若存在異于AB，CD 的直線同時與直線AC，MN，BD都相交，則AB，CD可能是異面直線；④若M，N兩點(diǎn)可能重合，則AC∥BD，故AC∥l，此時直線AC與直線l不可能相交．

解答： 解：對于①，因?yàn)锳B與CD相交，則ABCD四點(diǎn)共面于平面γ，且λ∩β=BD，λ∩α=AC，由AC∥l，可得AC∥β，
由線面平行的性質(zhì)可得AC∥BD，進(jìn)而可得BD∥l，故①錯誤；
對于②，當(dāng)AB，CD是異面直線時，MN不可能與l平行，過N作CD的平行線EF，分別交α，β于E、F，可得M為EF中點(diǎn)，可得△BMF≌△AME，可得AE∥BF，顯然與題設(shè)矛盾，故②錯誤；
對于③，若存在異于AB，CD 的直線同時與直線AC，MN，BD都相交，則AB，CD可能是異面直線，故③錯誤；
對于④，若M，N兩點(diǎn)可能重合，則AC∥BD，故AC∥l，故此時直線AC與直線l不可能相交，故④正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評：本題主要考查空間直線位置關(guān)系的判斷，考查圖形的觀察能力與運(yùn)用相關(guān)知識證明判斷的能力．綜合性較強(qiáng)．