Question

6．已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a≠0）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）+（a+1）x+4-e≤0對任意x∈[e，e²]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍（e為自然常數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再分類討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）令F（x）=alnx-ax-3+（a+1）x+4-e=alnx+x+1-e，從而求導(dǎo)F′（x）=$\frac{x+a}{x}$，再由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)的最大值，從而化恒成立問題為最值問題即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{a}{x}$-a=$\frac{a-ax}{x}$=$\frac{a（1-x）}{x}$（x＞0），
當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，單調(diào)減區(qū)間為[1，+∞）；
當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1]；
（Ⅱ）令F（x）=alnx-ax-3+（a+1）x+4-e=alnx+x+1-e，則F′（x）=$\frac{x+a}{x}$，
若-a≤e，即a≥-e，
F（x）在[e，e²]上是增函數(shù)，
F（x）_max=F（e²）=2a+e²-e+1≤0，
a≤$\frac{1}{2}$（e-1-e²），無解．
若e＜-a≤e²，即-e²≤a＜-e，
F（x）在[e，-a]上是減函數(shù)；在[-a，e²]上是增函數(shù)，
F（e）=a+1≤0，即a≤-1．
F（e²）=2a+e²-e+1≤0，即a≤$\frac{1}{2}$（e-1-e²），
∴-e²≤a≤$\frac{1}{2}$（e-1-e²）．
若-a＞e²，即a＜-e²，
F（x）在[e，e²]上是減函數(shù)，
F（x）_max=F（e）=a+1≤0，即a≤-1，
∴a＜-e²，
綜上所述，a≤$\frac{1}{2}$（e-1-e²）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，以及考查了恒成立問題及分類討論的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用，屬于中檔題．