Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），點(diǎn)P是橢圓C上的一點(diǎn)，PF₁與y軸的交點(diǎn)Q恰為PF₁的中點(diǎn)，|OQ|=

3

4

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)A為橢圓的右頂點(diǎn)，過焦點(diǎn)F₁的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，求△AMN面積的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由已知條件推導(dǎo)出PF₂⊥F₁F₂．由F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），得|PF1|=

|F1F2|2+|PF2|2

=

5

2

．c=1，從而得到2a=|PF₁|+|PF₂|=

5

2

+

3

2

=4，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F₁（-1，0）的直線l的斜率為k，當(dāng)k不存在時，S△AMN=

1

2

|MN||AF1|=

9

2

；當(dāng)k存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1）．由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，由|MN|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

12(k2+1)

3+4k2

，點(diǎn)A（2，0）到直線y=k（x+1）的距離d=

|3k|

k2+1

，由此能求出△AMN面積的取值范圍．

解答： 解：（I）因?yàn)镼為PF₁的中點(diǎn)，O為F₁F₂的中點(diǎn)，|OQ|=

3

4

，
所以PF₂∥OQ，且|PF₂|=2|OQ|=

3

2

．
所以PF₂⊥F₁F₂．
因?yàn)镕₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），所以|PF1|=

|F1F2|2+|PF2|2

=

5

2

．c=1，
因?yàn)?a=|PF₁|+|PF₂|=

5

2

+

3

2

=4，
所以a=2，b²=4-1=3．
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F₁（-1，0）的直線l的斜率為k，顯然k≠0．
（1）當(dāng)k不存在時，直線l的方程為x=-1，所以|MN|=3．
因?yàn)锳（2，0），所以S△AMN=

1

2

|MN||AF1|=

9

2

．
（2）當(dāng)k存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1）．
由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，消y并整理得：
（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

-8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
因?yàn)閨MN|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k2)[(x12+x22)-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k4 (3+4k2)2 - 4(4k2-12) 3+4k2 ]

=

12(k2+1)

3+4k2

，
又因?yàn)辄c(diǎn)A（2，0）到直線y=k（x+1）的距離d=

|3k|

k2+1

，
所以S_△AMN=

1

2

•d•|MN|=

1

2

•

12(k2+1)

3+4k2

•

|3k|

k2+1

=18•

|k| k2+1

3+4k2

=18

k2(k2+1) (3+4k2)2

=18

k4+k2 9+24k2+16k4

=18

1+ 1 k2 9 k4 + 24 k2 +16

，
設(shè)m=

1

k2

，則
S△AMN=18

1+m 9m2+24m+16

=18

1 9m2+24m+16 m+1

=18

1 9(m+1)2+6(m+1)+1 m+1

=18

1 9(m+1)+ 1 m+1 +6

．
因?yàn)閙＞0，所以m+1＞1．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=9x+

1

x

在（

1

3

，+∞）上單調(diào)遞增，
所以9（m+1）+

1

m+1

＞10．
所以9（m+1）+

1

m+1

+6＞16．
所以

1

9(m+1)+ 1 m+1 +6

＜

1

16

．
所以

1 9(m+1)+ 1 m+1 +6

＜

1

4

．
所以18

1 9(m+1)+ 1 m+1 +6

＜

9

2

所以0＜S_△AMN＜

9

2

．
綜合（1）（2）可知 0＜S_△AMN≤

9

2

．
∴△AMN面積的取值范圍是（0，

9

2

]．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形的面積的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．