Question

19．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a∈N^*），若不等式f（x）＜2x的解集為（1，4），且方程f（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）解不等式f（x）＞mx（m∈R）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，1，4是方程ax²+（b-2）x+c=0的兩根，且a＞0，運(yùn)用韋達(dá)定理可得b，c，再由判別式為0，可得b，c，進(jìn)而得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）由題意，不等式x²-（m+3）x+4＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可m的范圍；
（Ⅲ）方程x²-（m+3）x+4=0的判別式△=（m+3）²-16，討論判別式為0，大于0和小于0，即可得到不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）由題意，1，4是方程ax²+（b-2）x+c=0的兩根，且a＞0，
由韋達(dá)定理得，1+4=$\frac{2-b}{a}$，1×4=$\frac{c}{a}$，即有b=2-5a，c=4a，
因?yàn)榉匠蘤（x）=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以（b-1）²-4ac=0，
消去b，c得a=1或$\frac{1}{9}$（舍去），b=-3，c=4，
所以f（x）=x²-3x+4；        
（Ⅱ）由題意，不等式x²-（m+3）x+4＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，
設(shè)g（x）=x²-（m+3）x+4其圖象的對稱軸方程為x=$\frac{m+3}{2}$，
當(dāng)$\frac{m+3}{2}$＞1即m＞-1時(shí)，有g(shù)（$\frac{m+3}{2}$）=$\frac{16-（m+3）^{2}}{4}$＞0，得-1＜m＜1，
當(dāng)$\frac{m+3}{2}$≤1即m≤-1時(shí)，有g(shù)（1）=2-m≥0，得m≤-1，
綜上，m＜1；         
（Ⅲ）方程x²-（m+3）x+4=0的判別式△=（m+3）²-16，
當(dāng)△＜0即-7＜m＜1時(shí)，不等式的解集為R；  
當(dāng)△=0時(shí)：m=-7時(shí)，不等式的解集為{x|x≠-2}；
m=1時(shí)，不等式的解集為{x|x≠-2}；
當(dāng)△＞0即m＜-7或m＞1時(shí)，
不等式的解集為{x|x＜$\frac{m+3-\sqrt{{m}^{2}+6m-7}}{2}$或x＞$\frac{m+3+\sqrt{{m}^{2}+6m-7}}{2}$}．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)、二次方程和二次不等式的關(guān)系，主要考查二次不等式的解法和不等式恒成立思想的運(yùn)用，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．