Question

1．f（x）=lnx-ax，g（x）=e^x-ax（a＞0），f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，g（x）在（1，+∞）有最小值，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，e）
• B． （1，e）
• C． （e，+∞）
• D． [e，+∞）

Answer 1

分析 令f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，得f（x）在（a^-1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．同理，f（x）在（0，a^-1）上是單調(diào)增函數(shù)．求得g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，由題意可得lna＞1，求交集能求出a的取值范圍．

解答 解：f（x）=lnx-ax的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
考慮到f（x）的定義域為（0，+∞），
故a＞0，進而解得x＞a^-1，
即f（x）在（a^-1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．
同理，f（x）在（0，a^-1）上是單調(diào)增函數(shù)．
由于f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
故（1，+∞）⊆（a^-1，+∞），從而a^-1≤1，即a≥1．
令g′（x）=e^x-a=0，得x=lna．
當(dāng)x＜lna時，g′（x）＜0；當(dāng)x＞lna時，g′（x）＞0．
又g（x）在（1，+∞）上有最小值，所以lna＞1，
即a＞e．綜上，有a∈（e，+∞）．
故選：C．

點評 本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．是中檔題．