Question

已知等腰Rt△ABC，BC⊥AC，將△ABC繞著邊AB旋轉(zhuǎn)θ角到△ABC′，連接CC′，D為線段CC′的中點(diǎn)，P是線段AB上任一點(diǎn)．
（1）求證：CC′⊥DP；
（2）當(dāng)三棱錐B-ACC′的體積達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn)P在線段AB的什么位置時(shí)，直線AC與平面CDP所成的角最大？為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）首先，證明AB⊥平面COC′，然后，得到CC′⊥面ABD，從而得證；
（Ⅱ）利用空間向量法：以O(shè)C，OC′OB所在直線，為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，寫出相關(guān)的點(diǎn)，然后，結(jié)合向量的基本運(yùn)算進(jìn)行求解．

解答： （1）證明：取AB中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OC′
∵CB=CA，C′B=C′A，
∴CO⊥AB，C′O⊥AB，
∵OC∩OC′=O，
∴AB⊥平面COC′，
∵CC′?面COC′，
∴CC′⊥AB，
∵BC=BC′，D為CC′中點(diǎn)，
∴BD⊥CC′，
∵BD∩AB=B，
∴CC′⊥面ABD，
∵DP?面ABD，
∴CC′⊥DP．
（2）由 （1）得V_B-ACC′=

1

3

S_△OCC′•AB，
∵S_△OCC′=

1

2

OC•OC′sin∠COC′，
∴當(dāng)∠COC′=

π

2

時(shí)，S_△OCC′取得最大值，
此時(shí)OC⊥OC′，S_△OCC′達(dá)到最大，
以O(shè)C，OC′OB所在直線，為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
設(shè)P（0，0，m） AB=2，則A（0，0，-1），B（0，0，1），C（1，0，0），C′（0，1，0），D（

1

2

，

1

2

，0），

AC

=（1，0，0），

CD

=（-

1

2

，

1

2

，0），

CP

=（-1，0，m），
設(shè)平面CDP的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • CD =0 n • CP =0

，
∴

- 1 2 x+ 1 2 y=0 -x+mz=0

，令z=1，得x=y=m，
∴

n

=（m，m，1），
∴cos＜

n

，

AC

＞=

n • AC

| n || AC |

=

m+1

2 • 2m2+1

令f（m）=

m+1

2 • 2m2+1

，m∈[-1，1]，
∴f′（m）=

1-2m

(2m2+1) 2m2+1

，
令f′（m）=0．
∴m=

1

2

，
∵m∈（-1，

1

2

），f′（m）＞0．
m∈（

1

2

，1），f′（m）＜0．
∴f（m）max=f（

1

2

）=

3

2

．
此時(shí)，＜

n

，

AC

＞=

π

3

，BP=

1

4

AB，
∴當(dāng)BP=

1

4

AB，直線AC與平面CDP所成的角最大，為

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了空間中垂直關(guān)系、平行關(guān)系，向量及其運(yùn)算等知識(shí)，屬于中檔題．