在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊，若tanA+tanB=
2sinC
cosA
．
（1）求角B的大小；
（2）已知
a
c
+
c
a
=3
①求sinAsinC的值；
②求
1
tanA
+
1
tanC
的值．
考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（1）已知等式左邊利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡，通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，再利用誘導(dǎo)公式變形求出cosB的值，即可確定出B的度數(shù)；
（2）①已知等式左邊通分并利用同分母分式的加法法則變形，再利用余弦定理化簡，將cosB的值代入得到
b2
ac
=2，利用正弦定理化簡即可求出sinAsinC的值；
②原式利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，將sinB與sinAsinC的值代入即可求出值．
解答： 解：（1）tanA+tanB=
sinA
cosA
+
sinB
cosB
=
sinAcosB+cosAsinB
cosAcosB
=
sin(A+B)
cosAcosB
=
sinC
cosAcosB
=
2sinC
cosA
，
∴cosB=
1
2
，
∵0＜B＜π，
∴B=
π
3
；
（2）∵
a
c
+
c
a
=
a2+c2
ac
=
b2+2accosB
ac
=3，
∴
b2
ac
=2，
利用正弦定理化簡得：
b2
ac
=
sin2B
sinAsinC
=
sin2
π
3
sinAsinC
=
3
4sinAsinC
=2，
①sinAsinC=
3
8
；
②∵sinAsinC=
3
8
，
∴
1
tanA
+
1
tanC
=
cosA
sinA
+
cosC
sinC
=
sinCcosA+sinAcosC
sinAsinC
=
sinB
sinAsinC
=
3
2sinAsinC
=
4
3
3
．
點(diǎn)評：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，E為PC的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PA上，且AF=2FP．
（1）求證：CM∥平面BEF；
（2）求證：三棱錐F-ABE的體積．
（3）求BE與平面PAB所成角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等腰Rt△ABC，BC⊥AC，將△ABC繞著邊AB旋轉(zhuǎn)θ角到△ABC′，連接CC′，D為線段CC′的中點(diǎn)，P是線段AB上任一點(diǎn)．
（1）求證：CC′⊥DP；
（2）當(dāng)三棱錐B-ACC′的體積達(dá)到最大時，點(diǎn)P在線段AB的什么位置時，直線AC與平面CDP所成的角最大？為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生5名，外科醫(yī)生4名，現(xiàn)要派4名醫(yī)生參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，
（1）一共有多少種選法？
（2）其中某內(nèi)科醫(yī)生必須參加，某外科醫(yī)生因故不能參加，有幾種選法？
（3）內(nèi)科醫(yī)生和外科醫(yī)生都要有人參加，有幾種選法？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，平面ABC⊥平面DBC，已知AB=AC，BC=6，∠BAC=∠DBC=90°，∠BDC=60° 
（1）求證：平面ABD⊥平面ACD；
（2）求二面角A-CD-B的平面角的余弦值；
（3）記經(jīng)過直線AD且與BC平行的平面為α，求點(diǎn)B到平面α的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

解關(guān)于x的不等式
ax-1
x+1
＜0 （a∈R且a≥0）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一個袋子中有3個紅球和2個黃球，5個球除顏色外完全相同，甲、乙兩人先后不放回地從中各取1個球．規(guī)定：若兩人取得的球的顏色相同則甲獲勝，否則乙獲勝．
（1）求兩個人都取到黃球的概率；
（2）計(jì)算甲獲勝的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2ωx+
π
6
）（ω＞0），直線x=x1，x=x2是y=f（x）圖象的任意兩條對稱軸，且|x1-x2|的最小值為
π
2
．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求使不等式f（x）≥
3
2
的x的取值范圍．
（3）若f（α）=
1
3
，α∈[-
π
3
，
π
6
]，求f（α+
π
6
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若正數(shù)a，b滿足
1
a
+
1
b
=1，則
1
a-1
+
9
b-1
的最小值為
 
．

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同步練習(xí)冊答案