Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，對一切正整數(shù)n，都有a_n+1+a_n=3×2ⁿ．
（1）探討數(shù)列{a_n}是否為等比數(shù)列，并說明理由；
（2）設(shè)b_n=

an+1

an-1

，求證：b₁+b₂+…+b_n＜n+4．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由an+1+an=3×2n，得對一切n∈N*，an=2n，由此能證明{a_n}是等比數(shù)列．
（2）由（1）知bn=

an+1

an-1

=

2n+1

2n-1

=1+

2

2n-1

，從而得到bn＜1+4(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，由此能證明b₁+b₂+…+b_n＜n+4．

解答： （1）解：由an+1+an=3×2n，
得an+1-2n+1=an-2n=…=a1-2 =0，
∴對一切n∈N*，an=2n，
∴{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．…（5分）
（2）證明：∵{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴an=2n，
∴bn=

an+1

an-1

=

2n+1

2n-1

=1+

2

2n-1

，…（6分）

∵

1

2n-1

=

2n+1-1

(2n-1)(2n+1-1)

＜

2n+1

(2n-1)(2n+1-1)

=2(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，
∴bn＜1+4(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)…（10分）
∴b1+b2+…+bn＜n+4(

1

21-1

-

1

2n+1-1

)=n+4-

4

2n+1-1

＜n+4…（12分）

點評：本題考查等比數(shù)列的探究，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意放縮法的合理運用．