Question

【題目】已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).

（1）判斷并證明在上的單調(diào)性.

（2）若對任意實數(shù)t,不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先利用函數(shù)的奇偶性求出，判斷f(x)在(∞,+∞)上是減函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上的單調(diào)遞減.（2）先化簡不等式為f(kt2kt)<f(2kt)=f(kt2)，再利用函數(shù)的單調(diào)性得kt2kt>kt2，再分析得解.

(1)由于定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù)，

則,解得，經(jīng)檢驗成立；

判斷函數(shù)f(x)在(∞,+∞)上是減函數(shù)。

證明：設(shè)任意x1<x2，

f(x1)f(x2)=，

由于x1<x2,則2x1<2x2,則有f(x1)>f(x2)，

故f(x)在(∞,+∞)上是減函數(shù)；

(2)不等式f(kt2kt)+f(2kt)<0，

由奇函數(shù)f(x)得到f(x)=f(x)，

f(kt2kt)<f(2kt)=f(kt2)，

再由f(x)在(∞,+∞)上是減函數(shù)，

則kt2kt>kt2,即有kt22kt+2>0對t∈R恒成立，

∴k=0或k>0且△=4k28k<0即有k=0或0<k<2，

綜上：0k<2.