Question

【題目】如圖，正方體 中， 分別為 的中點(diǎn).

（1）求證:平面 ⊥平面 ；
（2）當(dāng)點(diǎn) 在 上運(yùn)動時，是否都有 平面 ，證明你的結(jié)論；
（3）若 是 的中點(diǎn)，試判斷 與平面 是否垂直？請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）證明：正方體 中， 平面 ，

平面 ，所以 ，

連接 ，因?yàn)? 分別為 的中點(diǎn)，

所以 ,

又四邊形 是正方形，所以 ，所以 ，

因?yàn)? ，所以 平面 ，

又因?yàn)? 平面 ，所以平面 平面 ，

（2）解：當(dāng)點(diǎn) 在 上移動時，都有 平面 ，證明如下：

在正方體中 ，A1A∥C1C，且A1A=C1C，所以A1ACC1為平行四邊形，

所以A1 C1∥A C，

由（1）知，MN∥A C，所以MN∥A1 C1

又

所以

（3）解：PB⊥平面B1MN
設(shè) 的中點(diǎn)為Q，連接PQ，則PQ⊥平面 B1B

再連接BQ，因?yàn)镼，M分別為 ，AB的中點(diǎn)

所以△BB1M≌△ABQ

所以∠BB1M=∠ABQ，所以∠ABQ+∠BMB1=90°

所以B1M⊥BQ，又PQ⊥平面 B1B,所以PQ⊥B1M

所以B1M⊥平面PBQ

所以B1M⊥PB，又由（1）知， MN⊥平面BB1D1D,所以MN⊥PB

所以PB⊥平面B1MN

【解析】（1）根據(jù)題意作出輔助線結(jié)合已知可得 M N / / A C即 M N ⊥ B D ，利用線面垂直的判定定理可得出M N ⊥ 平面 B B1 D1 D，進(jìn)而由面面垂直的判定定理即可得證。（2）當(dāng)當(dāng)點(diǎn) P 在 D1 D 上運(yùn)動時，都有 M N / / 平面 A1 C 1P.利用線面平行的判定定理即可證明。（3)要證明PB⊥平面B1MN需利用題設(shè)條件推導(dǎo)出B1M⊥BQ，PQ⊥B1M，由此能夠證明PB⊥平面B1MN成立。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．