Question

已知點(diǎn)A（0，-

3

4

），點(diǎn)B，C分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，且

AB

•

BC

=0，動(dòng)點(diǎn)P滿足

BC

=

1

2

CP

，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E．
（1）求曲線E的方程；
（2）點(diǎn)Q（1，a），M，N為曲線E上不同的三點(diǎn)，且QM⊥QN，過(guò)M，N兩點(diǎn)分別作曲線E的切線，記兩切線的交點(diǎn)為D，求|OD|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)P（x，y），由已知條件推導(dǎo)出

AB

=(-

x

2

，

3

4

)，

BC

=（

x

2

，

y

3

），由此利用

AB

•

BC

=0，能求出曲線E的方程．
（2）設(shè)QM的方程為y-1=k（x-1），設(shè)M（x1，x12），N（x2，x22），D（x₃，y₃），由已知條件推導(dǎo)出x₁=k-1.x2=-

1

k

-1利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式能求出|OD|的最小值．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），
∵點(diǎn)B，C分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

BC

=

1

2

CP

，
∴B（-

x

2

，0），C（0，

y

3

），
∵A（0，-

3

4

），∴

AB

=(-

x

2

，

3

4

)，

BC

=（

x

2

，

y

3

），
由

AB

•

BC

=-

x2

4

+

y

4

=0，得x²=y，
∴曲線E的方程為x²=y．…（4分）
（2）∵點(diǎn)Q（1，a）在為x²=y上，∴Q（1，1），
設(shè)M（x1，x12），N（x2，x22），D（x₃，y₃），
設(shè)QM的方程為y-1=k（x-1），
聯(lián)立方程

y-1=k(x-1) y=x2

，消去y，得1+x₁=k，
∴x₁=k-1．
同理，設(shè)QN的方程為y-1=-

1

k

(x-1)，x2=-

1

k

-1．…（6分）
對(duì)函數(shù)y=x²求導(dǎo)，得y′=2x，
∴拋物線y=x²在點(diǎn)M處的切線斜率為2x₁，
∴切線MD的方程為y-x₁²=2x₁（x-x₁），即y=2x₁x-x₁²．
同理，拋物線y=x²在點(diǎn)N處的切線ND的方程為y=2x₂x-x22．…（8分）
聯(lián)立兩條切線的方程

y=2x1x-x12 y=2x2x-x22

，
解得x3=

x1+x2

2

=

1

2

(k-

1

k

-2)，y₃=x₁x₂=

1

k

-k，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

1

2

(k-

1

k

-2)，

1

k

-k）．
∴點(diǎn)D在直線2x+y+2=0上．…（10分）
∵點(diǎn)O到直線2x+y+2=0的距離d=

|2•0+0+2|

22+12

=

2 5

5

，
∴|OD|≥

2 5

5

，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)D（-

4

5

，-

2

5

）時(shí)等號(hào)成立．
由y3=

1

k

-k=-

2

5

，得k=

1± 26

5

，驗(yàn)證知符合題意．
當(dāng)k=

1± 26

5

時(shí)，|OD|有最小值

2 5

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查線段最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．