Question

已知函數(shù)f（x）=x²+mx+n有兩個零點-1與3
（1）求出函數(shù)f（x）的解析式，并指出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若g（x）=f（|x|）對任意x₁，x₂∈[t，t+1]，且x₁≠x₂，都有

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0成立，試求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

（1）∵函數(shù)f（x）=x²+mx+n有兩個零點-1與3，∴

-1+3=-m -1×3=n

，即

m=-2 n=-3

，
∴f（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴函數(shù)的增區(qū)間為[1，+∞）．
（2）∵g（x）=f（|x|）=x²-2|x|-4=

x2-2x-3，x≥0 x2+2x-3，x＜0

，∴它的增區(qū)間為[1，+∞）、[-1，0]．
對任意x₁，x₂∈[t，t+1]，且x₁≠x₂，都有

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0成立，
∴區(qū)間[t，t+1]在函數(shù)g（x）的增區(qū)間內(nèi)，∴t≥1，或

t+1≤0 t≥-1

．
解得t≥1，或t=-1．