Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{（\frac{1}{3}）^{x}+p}$+$\sqrt{q-x}$的定義域為[-1，4]．
（1）求p，q的值；
（2）已知α，β為方程x²+qx+p=0的兩個實數(shù)根，求2${α}^{\frac{2}{3}}{β}^{\frac{1}{2}}$（-6${α}^{-\frac{1}{2}}{β}^{\frac{1}{3}}$）÷（-4${α}^{-\frac{5}{6}}{β}^{-\frac{1}{6}}$）的值．

Answer 1

分析 （1）要使函數(shù)f（x）有意義，必須$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{3}）^{x}+p≥0}\\{q-x≥0}\end{array}\right.$，即$（\frac{1}{3}）^{x}≥-p$，x≤q，根據(jù)-1≤x≤4，可得p=-$\frac{1}{81}$，q=4．
（2）由α，β為方程x²+qx+p=0的兩個實數(shù)根，可得α+β=-q=-4，αβ=-p=$\frac{1}{81}$．化簡代入2${α}^{\frac{2}{3}}{β}^{\frac{1}{2}}$（-6${α}^{-\frac{1}{2}}{β}^{\frac{1}{3}}$）÷（-4${α}^{-\frac{5}{6}}{β}^{-\frac{1}{6}}$）即可得出．

解答 解：（1）要使函數(shù)f（x）有意義，必須$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{3}）^{x}+p≥0}\\{q-x≥0}\end{array}\right.$，∴$（\frac{1}{3}）^{x}≥-p$，x≤q，
∵-1≤x≤4，
∴p=-$\frac{1}{81}$，q=4．
（2）∵α，β為方程x²+qx+p=0的兩個實數(shù)根，
∴α+β=-q=-4，αβ=-p=$\frac{1}{81}$．
∴2${α}^{\frac{2}{3}}{β}^{\frac{1}{2}}$（-6${α}^{-\frac{1}{2}}{β}^{\frac{1}{3}}$）÷（-4${α}^{-\frac{5}{6}}{β}^{-\frac{1}{6}}$）
=$\frac{2×（-6）}{-4}$${α}^{\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}$${β}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-（-\frac{1}{6}）}$
=3αβ
=$\frac{1}{27}$．

點評 本題考查了函數(shù)定義域及其單調性、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、指數(shù)冪的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．