Question

（本小題滿分10分）已知函數(shù)是偶函數(shù)．

（1）求實(shí)數(shù)的值;

（2）設(shè),若有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）. （2）的取值范圍是{}∪[1,＋∞）．

【解析】

試題分析：（1）通過偶函數(shù)的定義，知，化簡得,進(jìn)而求出 。（2）通過分析得出題意可化為方程有且只有一個(gè)實(shí)根, 令,則有且只有一個(gè)正根，再通過，分三種情況、、討論求的取值范圍。

試題解析：（1）由函數(shù)是偶函數(shù)可知:,

∴ ,

化簡得,

即對(duì)一切恒成立,∴.

（2）函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),

即方程有且只有一個(gè)實(shí)根,

化簡得:方程有且只有一個(gè)實(shí)根,

且成立, 則

令,則有且只有一個(gè)正根

設(shè),注意到,

所以①當(dāng)時(shí), 有, 合題意;

②當(dāng)時(shí),圖象開口向下,且,則需滿足

,此時(shí)有;（舍去）

③當(dāng)時(shí),又,方程恒有一個(gè)正根與一個(gè)負(fù)根.

綜上可知,的取值范圍是{}∪[1,＋∞）．

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性和分類整合思想