Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x-sin（2x-

7π

6

）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

3

]時，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的余弦,正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的最值

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡可得f（x）=1+sin（2x+

π

6

）．令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
（2）由x∈[-

π

6

，

π

3

]，解得-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，由正弦函數(shù)的單調(diào)性知f（x）_max=2，f（x）_min=f（-

π

6

）=1-

1

2

=

1

2

．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x-sin（2x-

7π

6

）=1+cos2x+sin（2x-

π

6

）=1+sin（2x+

π

6

）．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]∴解得-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

∴由正弦函數(shù)的單調(diào)性知f（x）_max=2，f（x）_min=f（-

π

6

）=1-

1

2

=

1

2

．

點評：本題主要考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的最值，兩角和與差的正弦函數(shù)，屬于基本知識的考查．