Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=ax，x∈[2，3]時有唯一一個零點(diǎn)，且不是重根，求a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[-1，1]時，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1，求得c=1．再由f（x+1）-f（x）=2x求得a、b的值，可得f（x）的解析式．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-ax，利用函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得h（2）•h（3）≤0，由此求得a的范圍．
（Ⅲ）由題意得x²-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立，設(shè)g（x）=x²-3x+1-m，由g（x） 在[-1，1]上遞減，故只需g（1）＞0，由此解得m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，則由f（0）=1，求得 c=1．
再由f（x+1）-f（x）=2x可得 2ax+a+b=2x，
所以

2a=2 a+b=0

，∴

a=1 b=-1

，∴f（x）=x²-x+1．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-ax=x²-（a+1）x+1=0，則h（2）=3-2a，h（3）=7-3a，
由h（x）=0在[2，3]上有唯一零點(diǎn)且不是重根，只需h（2）•h（3）≤0，求得

3

2

≤a≤

7

3

．
經(jīng)檢驗(yàn)a=

3

2

時，方程h（x）=0在[2，3]上唯一解x=2；
a=

7

3

時，方程h（x）=0在[2，3]上唯一解x=3，故要求的a的范圍為[

3

2

，

7

3

]．
（Ⅲ）由題意得x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立，即x²-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立．
設(shè)g（x）=x²-3x+1-m，其圖象的對稱軸為直線x=

3

2

，所以g（x） 在[-1，1]上遞減．
故只需g（1）＞0，即1²-3×1+1-m＞0，解得m＜-1．

點(diǎn)評：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)零點(diǎn)的判定定理、二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．