Question

某廣場上有4盞裝飾燈，晚上每盞燈都隨機地閃爍紅燈或綠燈，每盞燈出現(xiàn)紅燈的概率都是

2

3

，出現(xiàn)綠燈的概率都是

1

3

．記這4盞燈中出現(xiàn)紅燈的數(shù)量為ξ，當這排裝飾燈閃爍一次時：
（1）求ξ=2時的概率；
（2）求ξ的數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）直接利用獨立重復試驗的概率公式求解，即可求ξ=2時的概率；
（2）法一：利用二項分布直接求ξ的數(shù)學期望．
法二：通過ξ的可能取值為0，1，2，3，4求出概率，然后求出期望．

解答： 解：（1）P(ξ=2)=

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)2=

24

81

=

8

27

…（3分）
即 ξ=2時的概率為

8

27

…（4分）
（2）法一：依題意，ξ～B(4，

2

3

)，∴Eξ=4×

2

3

=

8

3

…（12分）
法二：ξ的可能取值為0，1，2，3，4，
P(ξ=0)=

C

0 4

(

2

3

)0(

1

3

)4=

1

81

P(ξ=1)=

C

1 4

(

2

3

)1(

1

3

)3=

8

81

P(ξ=2)=

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)2=

24

81

=

8

27

P(ξ=3)=

C

3 4

(

2

3

)3(

1

3

)1=

32

81

P(ξ=4)=

C

4 4

(

2

3

)4(

1

3

)0=

16

81

…（10分）
∴Eξ=0×

1

81

+1×

8

81

+2×

24

81

+3×

32

81

+4×

16

81

=

8

3

…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的期望的求法，判斷試驗類型簡化解題過程．