Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（

3

2

sinx+cos²x-

3

2

）．
（1）求f（x）定義域及值域；
（2）若f（x₀）=2log₂（

2

-1）-

1

2

，求x₀的值．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意得（2sinx-1）（sinx-1）＜0，得

1

2

＜sinx＜1，從而求出函數(shù)的定義域，令g（x）=

3

2

sinx+cos²x-

3

2

=-(sinx-

3

4

)2+

1

16

，通過討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)g（x）的范圍，從而求出函數(shù)f（x）的值域；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為解方程

3

2

sinx₀+1-sin²x₀-

3

2

=

3 2 -4

2

，方程無(wú)解．

解答： 解：（1）∵

3

2

sinx+cos²x-

3

2

＞0，
∴（2sinx-1）（sinx-1）＜0，
∴

1

2

＜sinx＜1，
∴2kπ+

π

6

＜x＜2kπ+

π

2

，或2kπ+

5π

6

＜x＜2kπ+π，
即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋海?kπ+

π

6

，2kπ+

π

2

）∪（2kπ+

5π

6

，2kπ+π）；
令g（x）=

3

2

sinx+cos²x-

3

2

=-(sinx-

3

4

)2+

1

16

，
∴g（x）在（

1

2

，

3

4

）遞增，在（

3

4

，1）遞減，
∴g（x）_max=g（

3

4

）=

1

16

，
∴0＜g（x）≤

1

16

，
∴f（x）≤-4，
即函數(shù)f（x）的值域是（-∞，-4]；
（2）∵f（x₀）=2log₂（

2

-1）-

1

2

，
∴

3

2

sinx₀+1-sin²x₀-

3

2

=

3 2 -4

2

，
∴2sin²x₀-3sinx₀+3

2

-3=0，
∴△=33-24

2

＜0，
∴此方程無(wú)解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)求函數(shù)的定義域，值域問題，考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，是一道中檔題．