已知函數(shù)f（x）=2sin（x+
π
3
）cosx．
（1）求f（x）的值域；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知A為銳角，f（A）=
3
2
，b=2，c=3，求cos（A-B）的值．
考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（1）f（x）解析式第一項(xiàng)利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式變形，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出f（x）的值域；
（2）由f（A）=
3
2
以及第一問確定出的f（x）解析式，求出A的度數(shù)，再由b與c的值，利用余弦定理求出a的值，根據(jù)正弦定理求出sinB的值，進(jìn)而確定出cosB的值，原式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．
解答： 解：（1）∵f（x）=（sinx+
3
cosx）cosx
=sinxcosx+
3
cos2x
=
1
2
sin2x+
3
2
cos2x+
3
2

=sin（2x+
π
3
）+
3
2
，
∵-1≤sin（2x+
π
3
）≤1，
∴函數(shù)f（x）的值域是[
3
-2
2
，
3
+2
2
]；
（2）由f（A）=sin（2A+
π
3
）+
3
2
=
3
2
，得sin（2A+
π
3
）=0，
又A為銳角，∴A=
π
3
，
又b=2，c=3，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=4+9-2×2×3×
1
2
=7，即a=
7
，
由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
，得sinB=
bsinA
a
=
2×
3
2
7
=
3
7
，
又b＜a，∴B＜A，
∴cosB=
1-sin2B
=
2
7
，
則cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=
1
2
×
2
7
+
3
2
×
3
7
=
5
7
14
．
點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=2（m+1）x2-1與函數(shù)g（x）=4mx-2m有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知ω＞0，|φ|＜
π
2
，函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的部分圖象如圖所示．為了得到函數(shù)g（x）=sinωx的圖象，只要將f（x）的圖象（　�。�
A、向右平移
π
4
個(gè)單位長度
B、向右平移
π
8
個(gè)單位長度
C、向左平移
π
4
個(gè)單位長度
D、向左平移
π
8
個(gè)單位長度

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是（　　）
A、
1
5
B、
1
10
C、
3
5
D、
7
10

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=（2cosx+2
3
sinx，1），向量
n
=（cosx，-y），x，y∈R．
（1）若
m
∥
n
，且y=1，求tan（x+
π
6
）的值；
（2）若
m
⊥
n
，設(shè)y=f（x），求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x
ex
(x∈R)，g(x)=
(2-x)ex
e2

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)y=g（x）的圖象恒在函數(shù)y=f（x）的圖象下方；
（Ⅲ）若k＞0，求不等式f′（x）-k（1-x）f（x）＜0的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某港灣的平面示意圖如圖所示，O，A，B分別是海岸線l1，l2上的三個(gè)集鎮(zhèn)，A位于O的正南方向6km處，B位于O的北偏東60°方向10km處．
（Ⅰ）求集鎮(zhèn)A，B間的距離；
（Ⅱ）隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，為緩解集鎮(zhèn)O的交通壓力，擬在海岸線l1，l2上分別修建碼頭M，N，開辟水上航線．勘測時(shí)發(fā)現(xiàn)：以O(shè)為圓心，3km為半徑的扇形區(qū)域?yàn)闇\水區(qū)，不適宜船只航行．請確定碼頭M，N的位置，使得M，N之間的直線航線最短．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為B2，右焦點(diǎn)為F2，△B2OF2為等腰直角三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），拋物線y2=4
2
x的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的右頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)B1，B2分別是橢圓的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上異與B1，B2的點(diǎn)，求證：直線PB1和直線PB2的斜率之積為定值．
（3）已知圓M：x2+y2=
2
3
的切線l與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)，那么以CD為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)集A={a1，a2，…，an}，其中0≤a1＜a2＜…＜an，且n≥3，若對?i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai與aj-ai兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A，則稱數(shù)集A具有性質(zhì)P．
（Ⅰ）分別判斷數(shù)集{0，1，3}與數(shù)集{0，2，4，6}是否具有性質(zhì)P，說明理由；
（Ⅱ）已知數(shù)集A={a1，a2，…，a8}具有性質(zhì)P．
①求證：0∈A；
②判斷數(shù)列a1，a2，…，a8是否為等差數(shù)列，若是等差數(shù)列，請證明；若不是，請說明理由．

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