Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為B₂，右焦點(diǎn)為F₂，△B₂OF₂為等腰直角三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），拋物線y²=4

2

x的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的右頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)B₁，B₂分別是橢圓的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上異與B₁，B₂的點(diǎn)，求證：直線PB₁和直線PB₂的斜率之積為定值．
（3）已知圓M：x²+y²=

2

3

的切線l與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)，那么以CD為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）已知b=c，a=

2

，則b=c=1，可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P（m，n），則

m2

2

+n2=1，求出直線PB₁和直線PB₂的斜率，即可得出結(jié)論．
（3）先求得直線l的斜率不存在及斜率為0時(shí)圓的方程，由此可得兩圓所過公共點(diǎn)為原點(diǎn)O，當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理、向量數(shù)量積可得

OA

•

OB

的表達(dá)式，再根據(jù)線圓相切可得k，m的關(guān)系式，代入上述表達(dá)式可求得

OA

•

OB

=0，由此可得結(jié)論；

解答： 解：（1）已知b=c，a=

2

，
則b=c=1，
則所求方程為：

x2

2

+y2=1；
（2）由已知B₁（0，-1），B₂（0，1），
設(shè)P（m，n），則

m2

2

+n2=1，
∴kPB1•kPB2=

n+1

m

•

n-1

m

=

n2-1

m2

=-

1

2

；
（3）（i）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
因?yàn)橹本�l與圓M相切，故其中的一條切線方程為x=

6

3

．
代入橢圓方程可得，可得A（

6

3

，

6

3

），B（

6

3

，-

6

3

），
則以AB為直徑的圓的方程為（x-

6

3

）²+y²=

2

3

．
（ii）當(dāng)直線l的斜率為零時(shí)，
因?yàn)橹本�l與圓M相切，所以其中的一條切線方程為y=-

6

3

．
代入橢圓方程可得，可得A（

6

3

，-

6

3

），B（-

6

3

，-

6

3

），
則以AB為直徑的圓的方程為x²+（y+

6

3

）²+y²=

2

3

．
顯然以上兩圓都經(jīng)過點(diǎn)O（0，0）．
（iii）當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m．
代入橢圓方程消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-4km

2k2+1

，x₁x₂=

2m2-2

2k2+1

．
所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

m2-2k2

2k2+1

．
所以

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

3m2-2k2-2

2k2+1

①，
因?yàn)橹本�l和圓M相切，
所以圓心到直線l的距離d=

|m|

1+k2

=

6

3

，整理，得m²=

2

3

（1+k²），②
將②代入①，得

OA

•

OB

=，顯然以AB為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)O（0，0），
綜上可知，以AB為直徑的圓過定點(diǎn)（0，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程、圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生解決問題的能力．