Question

已知函數(shù)f(x)=

x

ex

(x∈R)，g(x)=

(2-x)ex

e2

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)x＞1時，函數(shù)y=g（x）的圖象恒在函數(shù)y=f（x）的圖象下方；
（Ⅲ）若k＞0，求不等式f′（x）-k（1-x）f（x）＜0的解集．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時是單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于0時是原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，從而可求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=

x

ex

+

(x-2)ex

e2

，證明x＞1時，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，可得F（x）＜F（1）=0，即可證明結(jié)論；
（Ⅲ）將f'（x）代入不等式，再分類討論即可求解．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=

x

ex

，∴f′（x）=

(x-1)ex

x2

，
由f'（x）=0，得x=1，
∵當(dāng)x＜0時，f'（x）＜0；當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＜0；當(dāng)x＞1時，f'（x）＞0；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是：[1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是：（-∞，0），（0，1]，
∴x=1時，函數(shù)取得極大值f（1）=

1

e

；
（Ⅱ）證明：令F（x）=f（x）-g（x）=

x

ex

+

(x-2)ex

e2

，則F′（x）=

(x-1)(e2x-e2)

ex+2

，
∵x＞1，∴x-1＞0，e^2x-e²＞0，
∴x＞1時，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴F（x）＜F（1）=0，
∴f（x）-g（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴當(dāng)x＞1時，函數(shù)y=g（x）的圖象恒在函數(shù)y=f（x）的圖象下方；
（Ⅲ）解：由f'（x）+k（1-x）f（x）=

(x-1)(-kx+1)ex

x2

＞0，
得：（x-1）（kx-1）＜0，
故：當(dāng)0＜k＜1時，解集是：{x|1＜x＜

1

k

}；
當(dāng)k=1時，解集是：∅；
當(dāng)k＞1時，解集是：{x|

1

k

＜x＜1}．

點評：本小題主要考查函數(shù)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，運算求解能力，考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．